Rでカイ二乗検定（適合度検定、独立性の検定、モザイクプロット）

observed <- c(60, 40)　# 観測データ
expected <- c(50, 50)　# 期待度数（均等に分布する場合）
chi_square_test <- chisq.test(observed, p = expected/sum(expected)) 　# カイ二乗統計量の計算
print(chi_square_test)　# 1　結果の表示
#　　Chi-squared test for given probabilities
#　data:  observed
# X-squared = 4, df = 1, p-value = 0.0455　#　カイ二乗統計量、自由度、p値

検定結果・結論：
適合度検定の結果、カイ二乗値は4、自由度1、p値は0.0455でした。
有意水準を0.05とした場合、p値 < 0.05であるので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を支持します。
つまり、コインの表と裏の出現回数に統計学的に有意な差があると言えます。
この例題では、観測された度数分布は期待される度数分布に適合していないことが分かりました。

適合度検定を使用することで、観測データが期待される理論分布にどれだけ近いかを評価することができます。

3.　Rでの独立性の検定の手順

◆独立性の検定の手順
1. 　仮説の設定：
帰無仮説（H0）: 2つの変数は独立である。
対立仮説（H1）: 2つの変数は独立でない（関連がある）。
2. 　データの収集：
2つのカテゴリカル変数のデータを収集し、クロス集計表を作成する。
3. 　期待度数の計算：
ある仮説のもとで（例えば、行と列の因子はそれぞれ独立であると仮定した場合に）期待される数値（期待度数）を求める。
各セルの期待度数の計算:
期待度数＝E = \( \frac{\text{行の合計} \times \text{列の合計}}{\text{全体の合計}} \)
期待度数は、各行と列の合計から求める。
4. 　カイ二乗値の計算
カイ二乗値の計算：
カイ二乗値 = \( \chi^2 = \sum \frac{(\text{O} – \text{E})^2}{\text{E}} \)​
（O：観測度数、E：期待度数）
5. 　結果の解釈：
計算したカイ二乗値を自由度に基づいてp値と比較し、帰無仮説を棄却するかどうかを判断する。

◆データセットでの検定例を解説
例題:新しい治療法Aと従来の治療法Bの効果有り無しの数を収集した。治療法Aは、効果あり30件と効果なし20件、治療法Bは効果あり25件と効果なし25件であった。この結果が互いに独立の関係であるといえるか。

仮説：帰無仮説（H0）: 新しい治療法Aと従来の治療法Bの効果は互いに独立である。
対立仮説（H1）: 新しい治療法Aと従来の治療法Bの効果は互いに独立でない。

この仮説に基づいて、独立性の検定（カイ二乗検定）を行います。

Rでのデータセット作成コードは以下の通りです。

observed_1 <- matrix(c(30, 20, 25, 25), nrow=2, byrow=TRUE)
colnames(observed_1) <- c("効果あり", "効果なし")
rownames(observed_1) <- c("A", "B")
observed_1
#  効果あり 効果なし
#A       30       20
#B       25       25

chi_sq_test <- chisq.test(observed, correct = F) 　# カイ二乗検定の実行 イェーツの補正なし（デフォルトが補正有）
> print(chi_sq_test)
	Pearson's Chi-squared test

data:  observed
X-squared = 1.0101, df = 1, p-value = 0.3149

検定結果・結論：
カイ二乗検定の結果、カイ二乗値は1.0101、自由度1、p値は 0.3149でした。
有意水準を0.05とした場合、p値 < 0.05であるので、帰無仮説を棄却することはできません。
従って、新しい治療法Aと従来の治療法Bの効果は互いに独立しており、治療法Aと治療法Bの効果には統計的に有意な関連は見られないことが示されました。

※Yates（イェーツ）の補正
カイ2乗検定は、以下の前提とされています。※１、２（これらも、諸説あります）
(1) データが母集団から無作為に抽出されている
(2) サンプル・サイズが十分に大きい。小さな標本にカイ2乗検定を適用すると、タイプIIの過誤（帰無仮説が実際には偽であるにもかかわらず、帰無仮説を受け入れること）のリスクがある。
(3)期待度数Eの1/5以上が5より小さくなく、クロス集計表のカウントがゼロのセルがない。
これらに該当しない場合に用いられる補正方法の一つが、イェーツの補正です。

chi_sq_test_1 <- chisq.test(observed_1, correct = TRUE) 　# カイ二乗検定の実行 イェーツの補正を適用 　 
> print(chi_sq_test_1)
#	Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
#data:  observed_1
#X-squared = 0.64646, df = 1, p-value = 0.4214

ただし、イェーツの補正は過剰補正になりがちであるという意見もあり※３、上記（1）～（3）を満たさない場合は、補正を行うのではなく別の方法を推奨する意見もあります。
こちらの補正方法を使用の場合は、充分に検討の上、ご使用ください。